Sisa Pembagian Pada bilangan Berpangkat, Bilangan Prima dan Komposit

A. Sisa pembagian pada bilangan Berpangkat.

 Untuk menentukan keterbagian bilangan berpangkat, sering kita gunakan istilah kongruen (=_), dan modulo (Mod). Suatu bilangan a dikatakan kongruen dengan b modulo n dapat dituliskan dengan a =_ b mod (n) jika a dan b memberikan sisa yang sama apabila dibagi oleh n.

       (an + b)^m = b^m    mod (n)

Contoh: 

Tentukanlah sisa dari 7²⁰¹⁸ dibagi oleh 5

Penyelesaian.

Cara 1

Dalam hal ini, lebih dahulu kita cari k sehingga 7^k = 5 × l ± 1

    7¹ = 7

    7² = 49 

    7³ = 343

    7⁴ = 2401 = 5 × 480 + 1

Jadi

7²⁰¹⁸ =_ 7⁴*⁵⁰⁴+² mod 5

          =_ (7⁴)⁵⁰⁴  ×  7² mod 5

          =_ (5 × 480 + 1)⁵⁰⁴ × 7² mod 5

          =_ (1)⁵⁰⁴ × 49 mod 5

          =_ 49 mod 5

Jadi sisa pembagian 7²⁰¹⁸ oleh 5 adalah 4.

Cara 2.

Sebelumnya kita ingat bahwa bilangan yang habis dibagi 5 cukup diperhatikan pada satuanya, sehingga bisa kita cek bahwa.

Jika angka satuanya adalah 0 atau 5 maka sisanya adalah 0

Jika angka satunya adalah 1 dan 6 maka sisanya adalah 1

Jika angka satunya adalah 2 dan 7 maka sisanya adalah 2 

Jika angka satuanya adalah 3 dan 8 maka sisanya adalah 3

Jika angka satuanya adalah 4 atau 9 maka sisanya adalah 4

Sehinga 

Kita harus mencari pola pangkat dari bilangan tersebut.

    7¹ = 7

    7² = 49 

    7³ = 343

    7⁴ = 2401

    7⁵ = 16.807

Artinya pola satuan dari pangkat tersebut selalu berulang setiap 4 kali sehingga.

Selanjutnya kita membagi pangkatnya sesuai dengan polanya.

2018 mod 4 bersisa 2

 Jadi 7² = 49 dengan satuanya adalah 9 maka sisa dari Pembagian tersebut adalah 4

B. Bilangan Prima dan Kuadrat

 Bilangan prima adalah bilangan asli yang hanya dapat dibagi oleh bilangan itu sendiri dan satu. Dengan perkataan lain, bilangan prima hanya mempunyai dua faktor yaitu 1 bilangan itu sendiri. Misalnya 2, 3, 5, 7, 11 , . . .

 Bilangan asli yang mempunyai lebih dari dua faktor disebut sebagai bilangan komposit. Misalnya 4, 6, 8, 9, . . .

Teorema (Topik eratosthenes)

 Untuk setiap bilangan komposit n ada bilangan prima p sehingga p | n dan p ≤ √n

Teorema tersebut mempunyai makna "jika tidak ada bilangan prima p yang dapat membagi n  dengan p ≤ √n maka n adalah bilangan prima". 

Contoh.

Tentukan bilangan-bilangan berikut merupakan bilangan prima atau komposit.

a. 157          b. 221

Penyelesaian

a. Bilangan prima ≤ √157 adalah 2, 3, 5, 7, 11 karena tidak ada dari bilangan-bilangan tersebut yang dapat membagi 157 maka 157 merupakan bilangan prima

b. Bilangan prima yang ≤ √221 adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13 karena dari bilangan tersebut ada yang bisa membagi 221 yaitu 13 | 221 maka 221 adalah bilangan komposit.

Untuk Penjelasan lebih lengkap, Yuk dinonton video berikut.

Untuk Soal latihan.

1. Tentukan angka terakhir dari 777³³³

2. Tentukan apakah bilangan berikut termasuk dalam bilangan prima atau komposit. 123, 349 dan 371

3. Berapakah sisa pembagian dari (43⁴³)⁴³ oleh 100