Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Dari sudut pandang geometri, nilai mutlak dari x ditulis | x |, adalah jarak dari x ke 0 pada garis bilangan real. Karena jarak selalu positif atau nol maka nilai mutlak x juga selalu bernilai positif atau nol untuk setiap x bilangan real.

Secara formal, nilai mutlak x didefinisikan dengan

atau dapat pula ditulis

| x | = -x    jika x ≥ 0

| x | = -x    jika x < 0

Dari Defenisi Tersebut dapat Disimpulkan Bahwa :

Nilai mutlak dari suatu bilangan merupakan jarak dari bilangan tersebut ke bilangan nol dan selalu bernilai positif.

Sebagai Contoh

| 7 | = 7      

| 0 | = 0     

| -4 | = -(-4) = 4

untuk Persamaan Nilai Mutlak Sendiri dapat Dinyatakan Dengan.

Jadi, jelas bahwa nilai mutlak setiap bilangan real akan selalu bernilai positif atau nol.

Jika Persamaan tersebut kita kuadratkan dikedua ruas maka akan diperoleh suatu sifat nilai mutlak sebagai berikut.

Dari Persamaan inilah kita dapat menyelesaikan pertidaksamaan Nilai mutlak dengan menggunakan ketaksamaan segitiga pula yaitu (a + b ) (a - b).

|a|     = a         jika a > 0

        = 0         jika a = 0

         =  -a      jika a < 0

Sebagai contoh 

|2| = 2 karena 2 > 0

|-2| = - (-2) = 2 Karena -2 < 0

|f(x)|     = f(x)         jika f(x) > 0

            = 0             jika f(x) = 0

            =  - f(x)      jika fx < 0

Contoh.

|2x - 3| = 2x - 3 

                karena 2x-3 > 0

                maka 2x > 3

                            x > 3/2

| -(2x-3) | = -2x + 3 

                Karena -2x+3 < 0

                maka -2x < -3

                            x < 3/2

Persamaan Nilai Mutlak

|f(x)|  = a  maka   f(x)  = a       jika f(x) > 0

                             f(x) = 0        jika f(x) = 0

                             f(x) = -a      jika fx < 0

Sebagai Contoh

|3x-7| =2 maka

3x - 7 = 2       jika 3x-7 > 0

            3x = 2+7

            x = 9/3

            x = 3

3x - 7 = -2 jika 3x - 7 < 0

            3x = -2+7

            x = 5/3

Contoh soal

1. Tentukan nilai x yang memenuhi dari Persamaan |2x + 7| = 4.

Penyelesaian:

Positif                                 Negatif

2x + 7 = 4                         -(2x -7) = 4

2x = 4 – 7                         -2x -7 = 4

x = -3/2                                 -7 – 4 = 2x

                                                x = -11/2

Jadi penyelesaian dari |2x + 7| = 4 adalah x = -3/2 atau x = – 11/2.

2. Tentukan nilai x yang yang memenuhi persamaan |2x – 5| = 3 + 2 |7 – x|.

Penyelesaian:

|2x – 5| = 3 + 2 |7 – x| atau dapat ditulis |2x – 5| – 2|7 – x| = 3

Positif – Positif                     Negatif – Positif

(2x-5) – 2(7 – x) = 3             -(2x – 5) – 2(7 – x)  = 3

2x + 2x = 3 +5 + 14                   -2x+ 2x = 3 – 5 + 14

4x = 22                                     0x = 12

x = 11/2                                     Tidak ada bilangan real  x yang memenuhi persamaan karena a = 0

Positif – Negatif                    Negatif – Positif

(2x – 5) – (-2)(7 – x) = 3     (2x – 5) – (- 2)(7 – x) = 3

(2x – 5) + 2(7 – x) = 3             (2x – 5) + 2(7 – x) = 3

2x -2x = 3 + 5 – 14                     2x = 3 + 5 – 14

0x = 6                                        x = −3

Tidak ada bilangan real  x yang memenuhi persamaan karena a = 0

Jadi penyelesaian dari |2x – 5| = 3 + 2 |7 – x| adalah x = 11/2 atau x = -3.

 

3. Tentukan nilai x yang yang memenuhi persamaan |3x –  5/3| = 1

Penyelesaian:

|3x –  5/3| = 1

Positif                                         Negatif

3x -5/3 = 1                                 -(3x -5/3) = 1

3x = 1 + 5/3                                 -3x + 5/3 = 1

3x = 8/3                                         5/3 – 1 = 3x

x = 8/9                                         x = 2/9

Jadi penyelesaian dari  |3x –  5/3| = 1 adalah x = 8/9 atau x = 2/9.

Untuk Penjelasan Lebih lengkap mengenai latihan soal bisa cek di video berikut

Penjelasan Mengenai Penyelesaian Soal

Dari Pernyataan dan Latihan Soal di atas, diberikan kesempatan untuk setiap orang membuat masing - masing 1 kesimpulan mengenai sifat dan cara penyelesaian suatu nilai mutlak.

Kemudian Paparkan kesimpulan setiap orang dalam Group untuk didiskusikan bersama.

Read More

Komposisi Transformasi

 Komposisi Transformasi.

1. Dua Translasi berurutan.

 Jika suatu titik mendapatkan translasi T1, kemudian dilanjutkan dengan translasi T2, maka dua translasi tersebut dapat dinyatakan dengan transformasi tunggal dan ditulis dengan notasi "T2 o T1".

Dibawah ini ditunjukkan titik p (x,y) mendapat transformasi berurutan.

T1 = (a      b) dan T2= ( c      d)

Maka titik P (x,y) ====>T1 diperoleh p' =  (x+a, y+b)

Kemudian

Titik P' ( x+a, y+b) =====> T2 diperoleh p" = (x + a + c, y + b + d)

Jika kita perhatikan T2 o T1 yang memetakan titik P' ke titik P", maka pemetaaan tersebut dapat kita nyatakan sebagai berikut.

Titik P ( x,y) =======> T2 o T1 diperoleh P" =  [x + (a+c) , y + ( b + d)] sehingga

Dapat dinyatakan rumus untuk komposisi transformasi T2 o T1 adalah.

T2 o T1 = ( a+c, b+d)

Contoh;

Tentukanlah bayangan titik (3,2) oleh translasi T1 = ( 5      2) dan dilanjutkan oleh translasi T2 = ( 1      3)

Jawaban.

T2 o T1 = (5+1    2+3)

              = ( 6      5)

Maka

Titik ( 3 , 2 ) ===> T2 o T1 diperoleh

 (3+6,  2+5) = ( 9, 7)

Sehingga diperoleh bayangaan titik (3, 2) oleh translasi T1 dilanjutkan T2 adalah (9,7)

Untuk mengigat kembali materi translasi.

Silahkan dicek kembali videonya.

2. Dua Refleksi terhadap dua garis Sejajar

3. Dua Refleksi terhadap dua garis saling tegak lurus

4. Dua Refleksi Terhadap Dua Garis Saling Berpotongan

5. Dua Rotasi berurutan dengan Pusat yang sama

Untuk mengigat kembali materi Refleksi, translasi dan rotasi cek divideo ini yah...

Refleksi

Rotasi

Read More

Kumpulan Soal Matematika Kelas X Semester Ganjil

 Nilai Mutlak.

1. Tentukanlah nilai x yang memenuhi persamaan nilai mutlak berikut.

• |(3x-5)/4x-7| = 5
• |2x-9|= x-3
• |x-1|² - |2x-2| - 3 = 0
• Buatkanlah sifat-sifat persamaan nilai mutlak

2. Tentukanlah Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan nilai mutlak berikut.

• |(X-6)/3x-9| ≤ 2
• |(2x - 9)/6 |≥ x
• |x-1|² - |x+3| - 2 < 0
• Sifat-sifat dari Pertidaksamaan Nilai Mutlak

1. Himpunan penyelesaian dari persamaan mutlak: |x+4|=1 adalah ....

2. Himpunan penyelesaian dari persamaan mutlak: |x+2|=|2x-1| adalah ....

3. Himpunan penyelesaian dari persamaan mutlak: |x-3|=2x adalah ....

4. Jika x_1 dan x_2 adalah penyelesaian dari: |4x-1|=|3x+5|dengan x_1 < x_2, nilai dari x_1 - x_2              adalah ....

5. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan mutlak: |x-3|≤1 adalah ...

6. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan mutlak: |3x+1|>7 adalah ....

7. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan mutlak: |2x-1|≥|3x-7| adalah ...

8. Nilai x yang memenuhi persamaan | x + 2 |= -3  adalah…

9. Nilai dari | 112 - 122 | x | 42 – 52 | = …

10. Nilai dari | 4 - 6 | - | 12 - 5 | = …

11. Nilai x yang memenuhi persamaa | x + 2 | = 3 adalah x1 dan x2 . nilai dari x1 + x2 adalah…

12. Penyelesaian dari persamaan nilai mutlak | x - 1 | = 2x + 1 adalah…

13. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan nilai mutlak | 2x - 5 | ˂ 3 adalah . . .

14. Nilai x yang memenuhi | x +  1/2 |  ≥  5/2 adalah…

15. Penerapan Nilai Mutlak dalam Kehidupan Sehari-hari

16. Tentukan HP dari 2|2x+4|-9<3

17. Tentukan HP dari |3x-1|=|x+7|

18. Nilai – nilai x yang memenuhi |x+3| ≤ |2x| adalah…

19. Pertaksamaan |(2x-1)/(x+5)| ≤ 3 mempunyai penyelesaian

20. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan |5- x/2|≥ 9

Pertidaksamaan Rasional dan Irasional

1. Nilai x yang memenuhi (2x - 1) / ( 3x - 5) ≥ 1 adalah…
2. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan rasional 2x / (x-1)² ≥  4/x adalah…
3. Tentukanlah sifat-sifat dari penyesaian pertidaksamaan rasional dan Irasional
4. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan Irasional √ [(x-3)/(2x - 1) ]> 1
5. Himpunan penyelesaian dari √ ( x² - 2x +1) < 4 adalah...

Read More

Dilatasi dan Rotasi

 Pengertian Dilatasi

Dilatasi merupakan transformasi geometri berupa perkalian yang memperbesar atau memperkecil suatu bangunan geometri. Dalam konsep dilatasi, ada yang disebut titik dilatasi dan faktor dilatasi. Titik dilatasi merupakan titik yang menentukan posisi suatu dilatasi.

Pengertian Rotasi

Rotasi adalah perputaran benda pada suatu sumbu yang tetap, misalnya perputaran gasing dan perputaran bumi pada poros/sumbunya.

Untuk Penjelasan Lebih Lengkap, perhatikan penjelasan dari video berikut.

Read More

Refleksi (Pencerminan)

Transformasi Geometri

Setelah sebelumnya kita telah membahas translasi atau pergeseran sekarang kita akan membahas.

Refleksi Atau Pencermian

Seperti halnya bayangan benda yang terbentuk dari sebuah cermin. Sebuah objek yang mengalami refleksi akan memiliki bayangan benda yang dihasilkan oleh sebuah cermin. Hasil dari refleksi dalam bidang kartesius tergantung sumbu yang menjadi cerminnya. Pembahasan materi refleksi yang akan diberikan ada tujuh jenis. Jenis-jenis tersebut antara lain adalah refleksi terhadap sumbu x, sumbu y, garis y = x, garis y = -x, titik O (0,0), garis x = h, dan garis y = k. Berikut ini adalah ringkasan daftar matriks transformasi pada refleksi/pencerminan.

Pencerminan terhadap sumbu x

Pada pencerminan terhadap sumbu x, nilai absis tetap dan ordinat menjadi kebalikannya.

Pencerminan Terhadap Sumbu y

Pencerminan terhadap sumbu y, merupakan kebalikan dari pencerminan terhadap sumbu x. Di mana nilai absis menjadi kebalikannya dan nilai ordinatnya tetap.

Pencerminan terhadap Garis y = x

Pada pencerminan terhadap garis y = x akan mengakibatkan nilai absis menjadi ordinat. Begitu juga, nilai ordinat akan menjadi absis.

Pencerminan terhadap Garis y = – x 

Pencerminan terhadap garis y = – x akan membuat nilai absis menjadi kebalikan dari ordinat. Sedangkan nilai ordinat akan menjadi kebalikan dari absis.

Pencerminan terhadap Titik Asal O(0,0)

Pencerminan pada titik asal artinya melakukan pencerminan terhadap titik O (0,0). Hasil pencerminan terhadap titik asal adalah nilai absis dan ordinat menjadi kebalikannya.

Pencerminan terhadap Garis x = h

Pencerminan terhadap garis x = h akan membuat titik absis bergeser sejauh 2h. Sedangkan nilai titik ordinatnya tetap.

Pencerminan terhadap Garis y = k

Pencerminan terhadap garis y = k akan membuat titik ordinatnya bergeser sejauh 2k. Sedangkan nilai titik absisnya tetap.

Untuk penjelasan lebih lengkap, silahkan pahami dan nonton video berikut.

Sebelum itu silahkan dicatat semua yah yang ada diblog ini.

Read More