A. Sisa pembagian pada bilangan Berpangkat.
Untuk menentukan keterbagian bilangan berpangkat, sering kita gunakan istilah kongruen (=_), dan modulo (Mod). Suatu bilangan a dikatakan kongruen dengan b modulo n dapat dituliskan dengan a =_ b mod (n) jika a dan b memberikan sisa yang sama apabila dibagi oleh n.
(an + b)^m = b^m mod (n)
Contoh:
Tentukanlah sisa dari 7²⁰¹⁸ dibagi oleh 5
Penyelesaian.
Cara 1
Dalam hal ini, lebih dahulu kita cari k sehingga 7^k = 5 × l ± 1
7¹ = 7
7² = 49
7³ = 343
7⁴ = 2401 = 5 × 480 + 1
Jadi
7²⁰¹⁸ =_ 7⁴*⁵⁰⁴+² mod 5
=_ (7⁴)⁵⁰⁴ × 7² mod 5
=_ (5 × 480 + 1)⁵⁰⁴ × 7² mod 5
=_ (1)⁵⁰⁴ × 49 mod 5
=_ 49 mod 5
Jadi sisa pembagian 7²⁰¹⁸ oleh 5 adalah 4.
Cara 2.
Sebelumnya kita ingat bahwa bilangan yang habis dibagi 5 cukup diperhatikan pada satuanya, sehingga bisa kita cek bahwa.
Jika angka satuanya adalah 0 atau 5 maka sisanya adalah 0
Jika angka satunya adalah 1 dan 6 maka sisanya adalah 1
Jika angka satunya adalah 2 dan 7 maka sisanya adalah 2
Jika angka satuanya adalah 3 dan 8 maka sisanya adalah 3
Jika angka satuanya adalah 4 atau 9 maka sisanya adalah 4
Sehinga
Kita harus mencari pola pangkat dari bilangan tersebut.
7¹ = 7
7² = 49
7³ = 343
7⁴ = 2401
7⁵ = 16.807
Artinya pola satuan dari pangkat tersebut selalu berulang setiap 4 kali sehingga.
Selanjutnya kita membagi pangkatnya sesuai dengan polanya.
2018 mod 4 bersisa 2
Jadi 7² = 49 dengan satuanya adalah 9 maka sisa dari Pembagian tersebut adalah 4
B. Bilangan Prima dan Kuadrat
Bilangan prima adalah bilangan asli yang hanya dapat dibagi oleh bilangan itu sendiri dan satu. Dengan perkataan lain, bilangan prima hanya mempunyai dua faktor yaitu 1 bilangan itu sendiri. Misalnya 2, 3, 5, 7, 11 , . . .
Bilangan asli yang mempunyai lebih dari dua faktor disebut sebagai bilangan komposit. Misalnya 4, 6, 8, 9, . . .
Teorema (Topik eratosthenes)
Untuk setiap bilangan komposit n ada bilangan prima p sehingga p | n dan p ≤ √n
Teorema tersebut mempunyai makna "jika tidak ada bilangan prima p yang dapat membagi n dengan p ≤ √n maka n adalah bilangan prima".
Contoh.
Tentukan bilangan-bilangan berikut merupakan bilangan prima atau komposit.
a. 157 b. 221
Penyelesaian
a. Bilangan prima ≤ √157 adalah 2, 3, 5, 7, 11 karena tidak ada dari bilangan-bilangan tersebut yang dapat membagi 157 maka 157 merupakan bilangan prima
b. Bilangan prima yang ≤ √221 adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13 karena dari bilangan tersebut ada yang bisa membagi 221 yaitu 13 | 221 maka 221 adalah bilangan komposit.
Untuk Penjelasan lebih lengkap, Yuk dinonton video berikut.
