Teori Bilangan, Algoritma Euclide, Persamaan Diophantine

 1. Sifat habis dibagi pada bilangan bulat

    Secara umum suatu bilangan yang dapat dibagi dapat dinyatakan kedalam bentuk.

    untuk sebarang a dan b, bilangan bulat dengan a ≠ 0, maka terdapat m dan n, bilangan bulat yang tunggal sedemikian sehingga b dapat dinyatakan sebagai 

b = (a*m) + n atau b = am + n, dengan 0 ≤ n < │a│

a, kemudian disebut sebagai pembagi, m disebut hasil bagi dan n disebut sebagai sisa hasil bagi. pernyataan b = am + n, biasanya disebut juga sebagai algoritma pembagian. untuk kasus n = 0, maka b dikatakan habis dibagi oleh a. Akibat dari pernyataan tersebut muncul suatu definisi yaitu.

Suatu bilangan bulat b dikatakan habis dibagi oleh suatu bilangan bulat tidak nol, jika ada suatu bilangan bulat m sedemikian sehingga b = am. atau dapat dituliskan sebagai a │ b (dibaca a habis membagi b)

Sifat-Sifat pada hasil bagi.

• jika a│b maka a│bc untuk sembarang c bilangan bulat
• jika a│b dan b│c maka a│c
• jika a│b dan a│c maka a│bx + cy untuk x dan y, sembarang bilangan bulat.
• jika a│b dan b│a maka a = ±b
• jika a│b dan b ≠ 0 maka │a│ ≤ │b│

2. Algoritma Euclide

    Defenisi

    Diberikan dua bilangan bulat a dan b dengan a > b > 0 maka FPB(a,b) dapat dicari dengan mengulang algoritma pembagian

Contoh :

Tentukan FPB (4840,1512)

Penyelesaian.

4840 = 1512 * 3 + 304

1512 = 304 * 4 + 296

304 = 296 * 1  + 8

296 = 8 * 37 + 0

maka kta peroleh  FPB (4840,1512) = 8

Akibat dari teorema Algoritma Euchlide yaitu untuk setiap FPB(a,b) maka terdapat bilangan bulat  x dan y sehingga FPB(a,b) = ax + by.

sehingga dari contoh diatas dapat dinyakan sebagai berikut.

8 = 304 - 296

    = 304 - [1512 - (304 * 4)]

    = (304 * 5) - 1512

    = [(4840 - 1512*3)*5 -1512

    = 4840 * 5 - 1512 * 16

jadi nilai x = 5 dan y = 16

Akibat Selanjutnya dari teorema algoritma euclide yaitu Persamaan linear diophantine.

3. Persamaan linear Diophantine

Teorema

Suatu Persamaan linear diophantine ax + by = c dengan a, b dan c bilangan bulat mempunyai penyelesaian bilangan bulat, jika dan hanya jika FPB(a,b) membagi habis c.

Contoh

Tentukan penyelesaian umum persamaan diophantine 754x + 221y = 13

Penyelesaian

Dengan menggunakan algoritma euclid diperoleh FPB(754,221) = 13, karena 13│13, akibatnya persamaan diatas mempunyai penyelesaian bilangan bulat.

kita akan mencari nilai dari m dan n sehingga 

13 = m * 754  + n * 221    Karena

13 = 5 *754  -  17 * 221 maka m = 5 dan n = -17 jadi penyelesaian umumny adalah.

x = 5 + (221/13) k = 5 + 17 k

y = -17 + (754/13) k = -17 - 58k

dengan k sembarang bilangan bulat.

Read More

Persamaan Linear Dua Variabel

 Bismilllahirahmanirahim

Assalamualaikum wr. wb

Bagaimana kabarnya hari ini.???

dimasa seperti ini selalu jaga kondisi yah, Apalagi dimasa Pandemi seperti ini.

kita akan membahas Persamaan Linear dua variabel.

Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

    Merupakan suatu persamaan linear yang memuat dua variabel, bentuk umum dari persamaan Linear dua variabel yaitu.

ax + by = c

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

    Sistem memiliki makna kumpulan, kelompok sehingga Sistem persamaan linear dua variabel merupakan kumpulan dari beberapa persamaan linear dua variabel.  mempunyai bentuk umum sebagai berikut.

Dimana a, b, dan c merupakan konstanta

SPLDV Homogen

    jika nilai c1 = 0 dan c2 = 0 , Maka sistem persamaan tersebut dinyatakan sebagai Sistem pesamaan linear dua variabel yang homogen dan mempunyai bentuk.

bentuk-bentuk SPLDV homogen dapat kita jumpai sebagai berikut

1).  2x + 3y = 0

2). 2x - y = 0

atau 

1).  3x - 2y = 0

2). 5x - 2y = 0

SPLDV Tak Homogen

    jika nilai c1 ≠ 0 dan c2 ≠  0 , Maka sistem persamaan tersebut dinyatakan sebagai Sistem pesamaan linear dua variabel yang tak homogen dan mempunyai bentuk.

bentuk-bentuk SPLDV tak homogen dapat kita jumpai sebagai berikut

1).  2x + 3y = 5

2). 2x - y = 1

atau 

1).  3x - 2y = 4

2). 5x - 2y = 8

Penyelesaian/Solusi SPLDV

    Untuk menyelesaikan persamaan linear dua variabel, memiliki beberapa cara penyelesaian, untuk lebih lengkapnya dibaca, dipahami dan dinonton yah penjelasanya.

1. Menggunakan Metode Eliminasi

    Metode ini merupakan metode dimana nilai x dan y akan kita eliminasi satu persatu, untuk mendapatkan nilai dari x dan y tersebut. dapat dinyatakan sebagai berikut.

untuk langkah awal kita akan mencari nilai y dengan mengeliminasi x

2x + 3y = 13            dikali dengan 1

-x  + 2y = -3            dikali dengan 2

Read More

Determinan dan Invers Matriks

 Bismillahirahmanirahim,,,

Assalamualaikum wr, wb

Bagaimana kabarnya semua, Insya Allah semuanya dalam kondisi terbaik yah, apalagi dimasa pandemi seperti ini, yang harus selalu menjaga kondisi terbaik sehingga dapat terhindar dari wabah Covid-19 ini.

Determinan Matriks.

Pada umumnya untuk Determinan matriks untuk tingkat Sma/Ma pada program Ipa sudah dipelajari pada semester Ganjil kelas X, yaitu pada materi SPLTV.

untuk dikelas XI akan kita pelajari lebih yaitu pada ordo 2*2 dan 3*3

Untuk matriks dengan ordo 2*2 yang berbentuk

Jika suatu matriks A berbentuk

Dapat dinyatakan dengan rumus 

Det (A) = a*d - b*c

Sebagai contoh.

Diberikan suatu matriks P

Maka 

det (P) = 2*3 - 5*(-1)

             = 6 + 5

             = 11

Sementara untuk matriks ordo 3*3 yang berbentuk

Jika suatu matrika M berbentuk

Maka det(M) = (a*e*i+b*g*f+c*d*h) - 

                           (g*e*c+h*f*a+i*d*b)

Sebagai contoh.

Diberikan suatu matriks N sebagai berikut

maka Det (N) = (4*2*2 + 3*3*-1 + 1*-2*4) - ( -1*2*1 + 4 *3*4 + 2*-2*3)

                        = (16 - 9 - 8) - (-2 + 48 - 12 )

                        = ( -1 ) - (34)

                        = -35

Untuk Penjelasan lebih lengkap silahkan kalian perhatikan penjelasan berikut.

Untuk Latihan soal Silahkan Kalian kerjakan soal berikut.

Berikut Video Penjelasan soal.

Read More

Tips Ujian Menggunakan Form

Untuk Link soal Silahkan kalian Akses Disini.

Sebelum itu Pelajari juga yah cara upload file.

Cara ujian.

1. Copy link berikut. 

Copy link ujian yang dikirimkan oleh bapak /Ibu guru 

Berikut linknya = 

https://forms.gle/gpePjkkqZruGjP3LA

2. Paste ke google chrome kemudian enter

3. Masukkan akun google

4. Kemudian tunggu dengan tampilan seperti ini

5. Kemudian klik tulisan "go it"

6. Kemudian tunggu lagi dengan tampilan seperti ini

7. Kemudian klik "ok finis......."

8. Tunggu sampai selesai dengan tampilan seperti ini, nnti akan otomatis ke soal

Aktifkan microphone dan kamera jika ada tulisan di allow saja yah.

9. Jika sudah selesai klik submit dan setelah itu akan ada tampilan seperti berikut. Setelah klik submit test yang warna hijau diatas

10. Terakhir klik tes finish

Read More

Perkalian Matriks

 Perkalian Matriks

1. Perkalian Bilangan Real dengan Matriks

    Dalam aljabar matriks, Suatu bilangan real selalu kita katakan sebagai skalar, Sehingga perkalian matriks dengan bilangan real biasanya kita nyatakan dengan perkalian matriks dengan skalar. Hasil kali skalar m dengan Matriks A dapat dituliskan kedalam notasi berikut :

m. A dengan m adalah Skalar dan A adalah Matriks A

matriks mA adalah suatu matriks yang elemen-elemenya merupakan hasil kali Skalar m dengan elemen-elemen pada matriks A. Dapat dinyatakan sebagai berikut.

berdasarkan hal tersebut dapat diberikan sebuah contoh 

diberikaan sebuah matriks Sebagai berikut

tentukanlah nilai dari 

a. 2A

b  1/2 A

Penyelesaian

2. Perkalian Matriks dengan Matriks

    untuk perkalian matriks dengan matriks dikalikan dengan cara baris dikali dengan kolom kemudian dijumlahkan atau dapat dinyatakan sebagai berikut. 

Maka A . B dapat dituliskan sebagai berikut.

Sebagai contoh:

Diberikan dua buah matriks sebagai berikut

Tentukanlah nilai dari A*B

Penyelesaian

Untuk Penjelasan lebih lengkap Perhatikan penjelasan dari video berikut.

Untuk Latihan soal bisa ini kalian coba kerjakan.

Jika diketahui Matriks-matriks berikut.

1. Tentukanlah nilai dari.

a. A*B^t

b. C*A

c. A*B^t *C

d. Apakah (A*B^t) * C = (C*A)*B^t jika yah buktikan jika tidak jelaskan.

2. Tentukanlah nilai dari 

a. 2*A*B^t

b. 2/3 *C

c. -1/3 * B

Untuk Pembahasan Lengkapnya Silahkan di cek yah di video berikut.

Read More