1. Jika suatu matriks terdapat baris atau kolom yang semua elemenya bilangan nol maka determinan dari matriks tersebut sama dengan nol
Contoh.
Matriks yang memiliki baris yang elemenya bilangan nol.
a b c
0 0 0
d e f
Matriks yang memiliki kolom yang elemenya bilangan nol.
a 0 c
d 0 f
g 0 i
2. Jika terdapat suatu matriks segitiga bawah atau segitiga atas maka determinan dari matriks tersebut adalah hasil kali dari elemen-elemen diagonal utamanya.
Contoh.
Matriks segitiga bawah (A).
a b c
0 e f
0 0 i
Matriks segitiga atas (B)
a 0 0
d e 0
g h i
Maka dapat disimpulkan determinan dari matriks tersebut adalah.
|A|=|B|= a.e.i
3. Jika terdapat suatu matriks segitiga atas atau bawah yang dikalikan dengan suatu bilangan tertentu (Konstanta (k) ) maka determinan dari matriks tersebut dapat dinyatakan dengan
Det = K³. Hasil kali diagonal utama
Contoh.
Matriks segitiga bawah (A).
k.a k.b k.c
0 k.e k.f
0 0 k.i
Matriks segitiga atas (B)
k.a 0 0
k.d k.e 0
k.g k.h k.i
Maka |A|=|B|= k³.a.e.i
4. Jika terdapat suatu matriks yang memiliki baris atau kolom yang bilangan pada setiap elemenya sama dan identik dengan baris atau kolom lainya maka berlaku determinan dari matriks tersebut adalah 0
Contoh
Jika suatu matriks A
1 2 3
4 5 6
1 2 3
Dan matriks B
1 4 4
2 3 3
5 4 4
Maka dapat disimpulkan bahwa
|A|=|B|= 0
5. Jika terdapat suatu matriks A yang memiliki baris atau kolom merupakan kelipatan dari baris atau kolom lainya dari matriks B maka determinan dari matriks tersebut adalah |A|= k.|B|
Contoh.
Jika Matriks A =
a b c
d e f
k.g k.h k.i
dan matriks B =
a b c
d e f
g h i
Maka dapat disimpulkan.
|A| = k|B|
6. Misalkan suatu matriks A merupakan matriks yang dihasilkan dari pertukaran dua baris atau kolom dalam matriks B, maka berlaku |B| = - |A|
Contoh.
Jika suatu matriks B=
a b c
d e f
g h i
Dan matriks A=
g h i
d e f
a b c
Artinya matriks A merupakan hasil pertukaran dari baris 1 dan 3 dari matriks B sehingga dapat disimpulkan bahwa.
|B| = - |A| atau |A| = - |B|
7. Jika suatu matriks B merupakan matriks yang dihasilkan dari kelipatan satu diantara baris atau kolom pada matriks A, kemudian ditambahkan dengan baris atau kolom lain dari matriks A, maka berlaku |A| = |B|
Contoh.
Misalkan suatu matriks A =
a b c
d e f
g h i
Dan matriks B =
a b c
d+k.a e+k.b f+k.c
g h i
8. Jika suatu matriks A merupakan transpose dari matriks B maka dapat disimpulkan bahwa |A|=|B|
Contoh.
Misalkan suatu matriks A =
a b c
d e f
g h i
Dan matriks B=
a d g
b e h
c f i
Maka dapata disimpulkan bahwa
|A|=|B|
9. Jika suatu matriks berordo sama maka berlaku |AB|=|A|•|B|
10. Jika matriks A mempunyai hasil kuadrat maka berlaku |A^m|=|A|^m
11. Jika suatu matriks A mempunyai invers A^-1 maka berlaku |A^-1| = 1/|A| atau |A|=1 / |A^-1|
12. Misalkan A, B, dan C adalah matriks persegi yang mempunyai ( n-1 ) baris atau kolom yang sama identik dengan matriks lainya dan sisa baris atau kolom lainya dari matriks C diperoleh dengan menjumlahkan sisa baris atau kolom pada matriks B dan A, maka berlaku |C|=|A|+|B|
Merupakan suatu Persamaan Linear yang memuat tiga variabel dalam suatu Persamaan atau dapat dinyatakan dengan bentuk : ax + by + cz = d dimana a,b,c dan d merupakan suatu konstanta.
Contoh Persamaan Linear Tiga Variabel
2x + 3y - 2z = 12
Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel ( SPLTV )
Sistem = kelompok, kumpulan, Sehingga Sistem persamaan linear tiga variabel Merupakan kumpulan dari beberapa persamaan linear tiga variabel, untuk mendapatkan satu penyelesaian biasanya membuthkan minimal 3 persamaan linear tiga variabel dimana persamaan-persamaan tersebut bukan merupakan kelipatan dari persamaan lainya.
Bentuk Umum dari SPLTV dapat dinyatakan sebagai berikut.
Cara Penyelesaian dari SPLTV memiliki bebrapa cara di antaranya :
1. Substitusi Murni
2. Eliminasi Murni
3. Metode Gabungan Eliminasi dan Substitusi
4. Determinan Matriks
Berikut langkah Penyelesaian dan Penjelasan dari Bentuk Tersebut.
Untuk menentukan keterbagian bilangan berpangkat, sering kita gunakan istilah kongruen (=_), dan modulo (Mod). Suatu bilangan a dikatakan kongruen dengan b modulo n dapat dituliskan dengan a =_ b mod (n) jika a dan b memberikan sisa yang sama apabila dibagi oleh n.
(an + b)^m = b^m mod (n)
Contoh:
Tentukanlah sisa dari 7²⁰¹⁸ dibagi oleh 5
Penyelesaian.
Cara 1
Dalam hal ini, lebih dahulu kita cari k sehingga 7^k = 5 × l ± 1
7¹ = 7
7² = 49
7³ = 343
7⁴ = 2401 = 5 × 480 + 1
Jadi
7²⁰¹⁸ =_ 7⁴*⁵⁰⁴+² mod 5
=_ (7⁴)⁵⁰⁴ × 7² mod 5
=_ (5 × 480 + 1)⁵⁰⁴ × 7² mod 5
=_ (1)⁵⁰⁴ × 49 mod 5
=_ 49 mod 5
Jadi sisa pembagian 7²⁰¹⁸ oleh 5 adalah 4.
Cara 2.
Sebelumnya kita ingat bahwa bilangan yang habis dibagi 5 cukup diperhatikan pada satuanya, sehingga bisa kita cek bahwa.
Jika angka satuanya adalah 0 atau 5 maka sisanya adalah 0
Jika angka satunya adalah 1 dan 6 maka sisanya adalah 1
Jika angka satunya adalah 2 dan 7 maka sisanya adalah 2
Jika angka satuanya adalah 3 dan 8 maka sisanya adalah 3
Jika angka satuanya adalah 4 atau 9 maka sisanya adalah 4
Sehinga
Kita harus mencari pola pangkat dari bilangan tersebut.
7¹ = 7
7² = 49
7³ = 343
7⁴ = 2401
7⁵ = 16.807
Artinya pola satuan dari pangkat tersebut selalu berulang setiap 4 kali sehingga.
Selanjutnya kita membagi pangkatnya sesuai dengan polanya.
2018 mod 4 bersisa 2
Jadi 7² = 49 dengan satuanya adalah 9 maka sisa dari Pembagian tersebut adalah 4
B. Bilangan Prima dan Kuadrat
Bilangan prima adalah bilangan asli yang hanya dapat dibagi oleh bilangan itu sendiri dan satu. Dengan perkataan lain, bilangan prima hanya mempunyai dua faktor yaitu 1 bilangan itu sendiri. Misalnya 2, 3, 5, 7, 11 , . . .
Bilangan asli yang mempunyai lebih dari dua faktor disebut sebagai bilangan komposit. Misalnya 4, 6, 8, 9, . . .
Teorema (Topik eratosthenes)
Untuk setiap bilangan komposit n ada bilangan prima p sehingga p | n dan p ≤ √n
Teorema tersebut mempunyai makna "jika tidak ada bilangan prima p yang dapat membagi n dengan p ≤ √n maka n adalah bilangan prima".
Contoh.
Tentukan bilangan-bilangan berikut merupakan bilangan prima atau komposit.
a. 157 b. 221
Penyelesaian
a. Bilangan prima ≤ √157 adalah 2, 3, 5, 7, 11 karena tidak ada dari bilangan-bilangan tersebut yang dapat membagi 157 maka 157 merupakan bilangan prima
b. Bilangan prima yang ≤ √221 adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13 karena dari bilangan tersebut ada yang bisa membagi 221 yaitu 13 | 221 maka 221 adalah bilangan komposit.
Untuk Penjelasan lebih lengkap, Yuk dinonton video berikut.
Untuk Soal latihan.
1. Tentukan angka terakhir dari 777³³³
2. Tentukan apakah bilangan berikut termasuk dalam bilangan prima atau komposit. 123, 349 dan 371
3. Berapakah sisa pembagian dari (43⁴³)⁴³ oleh 100
